Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=m，E為BC邊上一點(diǎn)，沿AE翻折△ABE，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處．

（1）連接CF，若CF//AE，求EC的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）若EC=，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的邊上時(shí)，求m的值；

（3）連接DF，在BC邊上是否存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)E，使得？若存在，直接寫出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EC=；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）由翻折的性質(zhì)可知BF⊥AE，CF//AE，所以，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，兩銳角互余，可證得EF=EC，所以點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，即可求得EC的長(zhǎng)；

（2）分兩種情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上，很容易可證得四邊形ABEF是正方形，所以BE=，就可求出m的值，當(dāng)點(diǎn)F在CD上，由翻折的性質(zhì)可得，，AB=AF=10，在△ECF中由勾股定理可表示出CF的長(zhǎng)，在△ADF中，由勾股定理即可求出m的值；

（3）由可知，點(diǎn)F到AD邊的距離為5,有兩種情況，第一種情況當(dāng)點(diǎn)F在矩形內(nèi)，可得，第二種情況當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上方，可得,要使在BC邊上存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)E，所以．

（1）連接CF，BF，BF交AE于點(diǎn)H，如下圖所示：

∵△ABE沿AE翻折到了△AFE，由翻折可得：

∴BE=EF，BF⊥AE，

∴，

∵CF//AE，

∴，

∴，，

∵BE=EF

∴∠BFE=∠FBE

∴∠EFC=∠ECF

∴EF=EC

∴EC=．

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在AD上，如下圖所示：

由翻折可得：

AB=AF=10，BE=EF，∠BAE=∠FAE=45

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABE=90，AD//BC，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=BE=AF=10，

∴四邊形ABEF是正方形，

∵EC=，

∴=10

∴；

②當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上，如下圖所示：

∵EC=，

∴

由翻折可得：

BE=EF，AB=AF=10，

在Rt△ECF中，由勾股定理得：

∴，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：

，

解得：

∴綜上所述：或．

（3）存在，

過F點(diǎn)作AD的垂線，交AD于G點(diǎn)，設(shè)FG為h，

∵，

∴，

∴，

∴，

①當(dāng)點(diǎn)F再AD的下方，點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，如圖所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

當(dāng)點(diǎn)F在AD的上方時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，如圖所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

∴在BC邊上存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)E，，

故答案為：．