Question

【題目】有一個(gè)n位自然數(shù)能被x0整除，依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的新數(shù)能被x0+1整除，再依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的新數(shù)能被x0+2整除，按此規(guī)律輪換后， 能被x0+3整除，…， 能被x0+n﹣1整除，則稱這個(gè)n位數(shù)是x0的一個(gè)“輪換數(shù)”．

例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個(gè)“輪換數(shù)”；

再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2的一個(gè)“輪換數(shù)”．

（1）若一個(gè)兩位自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，求證這個(gè)兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．

（2）若三位自然數(shù)是3的一個(gè)“輪換數(shù)”，其中a=2，求這個(gè)三位自然數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）三位自然數(shù)為201，207，255.

【解析】試題分析：（1）先設(shè)出兩位自然數(shù)的十位數(shù)字，表示出這個(gè)兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)即可；
（2）先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進(jìn)而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

解：（1）設(shè)兩位自然數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為2x，

∴這個(gè)兩位自然數(shù)是10x+2x=12x，

∴這個(gè)兩位自然數(shù)是12x能被6整除，

∵依次輪換個(gè)位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為10×2x+x=21x

∴輪換個(gè)位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為21x能被7整除，

∴一個(gè)兩位自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，這個(gè)兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”；

（2）∵三位自然數(shù)是3的一個(gè)“輪換數(shù)”，且a=2，

∴100a+10b+c能被3整除，

即：10b+c+200能被3整除，

第一次輪換得到的三位自然數(shù)是100b+10c+a能被4整除，

即100b+10c+2能被4整除，

第二次輪換得到的三位自然數(shù)是100c+10a+b能被5整除，

即100c+b+20能被5整除，

∵100c+b+20能被5整除，

∴b+20的個(gè)位數(shù)字不是0，便是5，

∴b=0或b=5，

當(dāng)b=0時(shí)，

∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+2能被4整除，

∴c只能是1，3，5，7，9；

∴這個(gè)三位自然數(shù)可能是為201，203，205，207，209，

而203，205，209不能被3整除，

∴這個(gè)三位自然數(shù)為201，207，

當(dāng)b=5時(shí)，∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+502能被4整除，

∴c只能是1，5，7，9；

∴這個(gè)三位自然數(shù)可能是為251，255，257，259，

而251，257，259不能被3整除，

∴這個(gè)三位自然數(shù)為255，

即這個(gè)三位自然數(shù)為201，207，255．