Question

如圖，已知反比例函數(shù)y1=

k

x

和一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象相交于點A和點D，且點A的橫坐標(biāo)為1，點D的縱坐標(biāo)為-1．過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A的橫坐標(biāo)得出OB的長，再由三角形AOB的面積為1，利用三角形面積公式求出AB的長，得出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值，確定出反比例函數(shù)解析式；將D的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出D的橫坐標(biāo)，確定出D的坐標(biāo)，將A和D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，得到關(guān)于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由A和D的橫坐標(biāo)及原點橫坐標(biāo)0，將x軸分為四個范圍，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時x的范圍即可．

解答：解：（1）由A的橫坐標(biāo)為1，得到OB=1，
∵△AOB的面積為1，
∴

1

2

AB•OB=1，即

1

2

AB=1，
解得：AB=2，
∴A（1，2），
將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：2=

k

1

，
解得：k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y₁=

2

x

；
又D的縱坐標(biāo)為-1，且D在反比例函數(shù)圖象上，
∴將y=-1代入反比例解析式得：-1=

2

x

，
解得：x=-2，
∴D（-2，-1），
將A和D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y₂=kx+b中得：

k+b=2 -2k+b=-1

，
解得：

k=1 b=1

，
∴一次函數(shù)解析式為y₂=x+1；

（2）由圖象可知：當(dāng)y₁＞y₂時，x的取值范圍x＜-2或0＜x＜1．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題，利用了待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．