Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（3，0）．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時點P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B、C兩點的坐標(biāo)代入得 ，

解得 ．

所以二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖，

，

存在點P，使四邊形POP′C為菱形．

設(shè)P點坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），

PP′交CO于E

若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO．

連接PP則PE⊥CO于E．

∴OE=CE= ，

∴y= ．

∴

解得x1= ，x2= （不合題意，舍去）

∴P點的坐標(biāo)為

（3）

解：如圖1，

，

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直線BC的解析式為y=﹣x+3．

則Q點的坐標(biāo)為（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF

= ×4×3+ （﹣x2+3x）×3

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當(dāng) 時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標(biāo)為 ，四邊形ABPC面積的最大值為

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)菱形的對角線互相平分，可得P點的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值與自變量的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標(biāo)．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．