Question

13．已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上任意一點(diǎn)，且EB=EC，∠ABE=∠ACE．
（1）求證：∠BAE=∠CAE；
（2）若AB=13，BC=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBD=∠ECD，而∠ABE=∠ACE，則∠ABC=∠ACB，根據(jù)等腰三角形的判定得AB=AC，有EB=EC，AE為公共邊，根據(jù)全等三角形的判定易得△ABE≌△ACE，由全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三線合一可得出AD⊥BC，然后利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．

解答 證明：（1）∵EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ACE+∠ECD，
即∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
又∵∠ABE=∠ACE，EB=EC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠BAE=∠CAE；

（2）∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，BC=10，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
在Rt△ABD中，
∵AD²=AB²-BD²=13²-5²=144，
∴AD=12，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×10=60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．