Question

【題目】若a、b滿足，且A(a，0)、B(0，b)

(1) 如圖，在x正半軸上有一點(diǎn)C（x，0）．若△ABC的面積大于6，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍____________；

(2)若在平面直角坐標(biāo)系第四象限上存在一點(diǎn)N，N的坐標(biāo)為(n，﹣n)，滿足4≤S△ABN≤8，求n的取值范圍．

(3)若在平面直角坐標(biāo)系上存在一點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為(m，﹣2m)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：無(wú)論m取何值△ABM的面積為定值，并求出這個(gè)值．

Answer 1

【答案】(1)；(2) (3) 無(wú)論m取何值△ABM的面積為定值，面積為1個(gè)單位平方，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，得到A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式列出不等式求解即可；

（2）分N點(diǎn)在直線AB左側(cè)時(shí)（n＞0）和右側(cè)時(shí)（n＞0）兩種情況求解，分別求出S△ABN用n表示的代數(shù)式，再解不等式組即可；

（3）分三種情況，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．

(1) ∵

∴

解得，

∴A（1，0），B（0，2）

∴OA=1，OB=2，

∵C（x，0）

∴AC=x-1

∴S△ABC=

解得，，

故答案為：；

(2)當(dāng)N點(diǎn)在直線AB左側(cè)時(shí)（n＞0）

過(guò)N做NF⊥x軸于F，做NE⊥y軸于E，

∵N(n，﹣n)，A(1，0)，B(0，2)，

∴AO=1，BO=2，EN=FN=n

∴S△ABN=S△AON+S△ABO﹣S△OBN

∴S△ABN=

∴ ∴,不合題意舍去;

當(dāng)N點(diǎn)在直線AB右側(cè)時(shí)（n＞0）

過(guò)N做NF⊥x軸于F，做NE⊥y軸于E，

∵N(n，﹣n)，A(1，0)，B(0，2)，

∴AO=1，BO=2，EN=FN=n

∴S△ABN=S△BON﹣S△ABO﹣S△AON

∴S△ABN=

∴ ∴

綜上所述：n的取值范圍為

(3)證明：1)當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)（m=0）時(shí)， S△ABM=1

2)當(dāng)點(diǎn)M（m＜0）在第二象限時(shí)，如圖：

過(guò)M做ME⊥x軸于E，做MF⊥y軸于F

∵M(m，﹣2m)，A(1，0)，B(0，2)，

∴MF=﹣m，EM=﹣2m，AO=1，BO=2,

∴S△ABM=S△BOM+S△ABO﹣S△OAM

∴S△ABM=

∴S△ABM=1

3)當(dāng)點(diǎn)M（m＞0）在第四象限時(shí)，如圖：

過(guò)M做EF⊥x軸于F，過(guò)B點(diǎn)做BE⊥EF于E

∵M(m，﹣2m)，A(1，0)，B(0，2)，

∴MF=m，EM=2m，AO=1，BO=2,

∴S△ABM=S△AOM+S△ABO﹣S△BOM

∴S△ABM=

∴S△ABM=1

綜上所述：無(wú)論m取何值△ABM的面積為定值，面積為1個(gè)單位平方．