Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為．設(shè)⊙M與y軸交于D．
（1）求m、a、b的值；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于Q．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，當(dāng)線段PQ的值最大時(shí)，四邊形ACQB面積是否也最大？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）作MN⊥CD于N，MH⊥AB于H，分別連接MC、MB．
∵⊙M的半徑為，x_M=1，
∴CN=2，ON=1，BH=2，OB=3；
得m=-1．
∵圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，
∴OA=1，A（-1，0）、B（3，0）；
代入y=ax²+bx-3得：
，
解得．
所以m=-1，a=1，b=-2．

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則CP=2t；
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴x_P=t；
易知，直線BC的解析式為 y=x-3
∴點(diǎn)P（t，t-3）．
∵PQ∥y軸，
∴Q（t，2t²-2t-3）．
PQ=t-3-（2t²-2t-3）=-2t²+3t=-2（t-）²+．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒，線段PQ的值最大；
故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）．

（3）當(dāng)線段PQ的值最大是，四邊形ACQB的面積最大．理由：
S_{四邊形ACQB}=S_△ABC+S_△CQB，
其中，S_△ABC=AB×OC=×4×3=6，為定值；
而S_△CQB=×|x_B-x_C|×PQ=×3×PQ=PQ
當(dāng)線段PQ的值最大時(shí)，△CQB的面積最大，即四邊形ABCQ的面積最大．
分析：（1）通過(guò)拋物線的解析式，首先能確定的是OC的長(zhǎng)，已知⊙M的半徑長(zhǎng)，過(guò)M作y軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的直角三角形能確定點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；同理，過(guò)M作x軸的垂線后可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，而A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱（根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)M正好在拋物線對(duì)稱軸上），在確定點(diǎn)A的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可求出a、b的值．
（2）首先求出直線BC的解析式，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，先表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差即為線段PQ的長(zhǎng)，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
（3）四邊形ACQB中，可分作兩部分對(duì)待：△ABC、△BCQ，前者的面積是定值，若四邊形的面積最大，那么△BCQ的面積最大，而這個(gè)面積可由PQ×OB（點(diǎn)B、C橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值）的一半，OB是定值，顯然PQ最大時(shí)，四邊形的面積也是最大的．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是：函數(shù)解析式的確定、圓的對(duì)稱性、勾股定理的應(yīng)用以及圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)；在解答類似最后一題的面積問(wèn)題時(shí)，合理利用圖形間面積的和差關(guān)系是常用的方法．