【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣旋轉(zhuǎn)變換

(1)如圖①,在△ABC中,∠ABC=130°,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C,連接BB′,求∠A′B′B的大;

(2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C,連接BB′,以A′為圓心,A′B′長(zhǎng)為半徑作圓.

(Ⅰ)猜想:直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(Ⅱ)連接A′B,求線段A′B的長(zhǎng)度;

(3)如圖③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,連接A′B和BB′,以A′為圓心,A′B′長(zhǎng)為半徑作圓,問(wèn):角α與角β滿足什么條件時(shí),直線BB′與⊙A′相切,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求此條件下線段A′B的長(zhǎng)度(結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示)

【答案】(1)65°;(2))結(jié)論:直線BB、是A的切線,理由詳見解析;(;(3).

【解析】

試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABC=ABC=130°,CB=CB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求得ABB得度數(shù);(2)()結(jié)論:直線BBA的切線.根據(jù)已知條件證明ABB=90°,即可判定直線BBA的切線;()在RTABB中,根據(jù)勾股定理即可計(jì)算出線段AB的長(zhǎng)度;(3)如圖中,當(dāng)α+β=180°時(shí),直線BB、是A的切線.只要證明ABB=90°即可解決問(wèn)題.在CBB中求出BB,再在RTABB中利用勾股定理即可.

試題解析:(1)如圖中,∵△ABC是由ABC旋轉(zhuǎn)得到,

∴∠ABC=ABC=130°,CB=CB,

∴∠CBB=CBB,∵∠BCB=50°,

∴∠CBB=CBB=65°

∴∠ABB=ABC﹣∠BBC=65°

(2)()結(jié)論:直線BB、是A的切線.

理由:如圖中,∵∠ABC=ABC=150°,CB=CB,

∴∠CBB=CBB,∵∠BCB=60°,

∴∠CBB=CBB=60°,

∴∠ABB=ABC﹣∠BBC=90°

AB′⊥BB

直線BBA的切線.

在RTABB中,∵∠ABB=90°,BB=BC=5,AB=AB=3,

AB==

(3)如圖中,當(dāng)α+β=180°時(shí),直線BB、是A的切線.

理由:∵∠ABC=ABC=α,CB=CB,

∴∠CBB=CBB,∵∠BCB=2β,

∴∠CBB=CBB=

∴∠ABB=ABC﹣∠BBC=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°

AB′⊥BB,

直線BB、是A的切線.

CBBCB=CB=n,BCB=2β,

BB=2nsinβ,

在RTABB中,AB==

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(1)如果小麗一開始想的那個(gè)數(shù)是5,請(qǐng)列式并計(jì)算結(jié)果;

(2)如果小麗一開始想的那個(gè)數(shù)是,請(qǐng)列式并計(jì)算結(jié)果;

(3)根據(jù)(1)、(2),嘗試寫出一個(gè)結(jié)論.

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