Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，點(diǎn)P速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

⑵△PBQ能否成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=0.6或1.5時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）當(dāng)t=1時(shí)，△BPQ是等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°，分情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半建立方程求解;

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

（1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=2tcm，

∵在△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°，

∴BP=(3t)cm，

在△PBQ中，BP=3t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，則

∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當(dāng)∠BQP=90°時(shí),BQ=BP，

即2t= (3t)，t=0.6，

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),BP=BQ，

3t=×2t，t=1.5

當(dāng)t=0.6或1.5時(shí)，△PBQ是直角三角形.

（2）當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，

BP=PQ=BQ，

即3t=2t，

解得t=1.

故當(dāng)t=1時(shí)，△BPQ是等邊三角形.