Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），DP交AC于點Q．

(1)求證：△APQ∽△CDQ;

(2)當PD⊥AC時，求線段PA的長度；

(3)當點P在線段AC的垂直平分線上時，

求sin∠ CPB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PA=；（3）sin∠ CPB=.

【解析】

試題分析：（1）利用兩角對應相等的兩個三角形易判斷△APQ∽△CDQ；（2）由條件可推出△APD∽△DAC，得出，代入數值可求出PA的值；（3）由勾股定理能夠求出PC的長度，再在Rt△CBP中求sin∠ CPB的值.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，∠APQ=∠CDQ，∴△APQ∽△CDQ .

（2）PD⊥AC，∴∠ACD+∠PDC=90° ，∵∠PDA+∠PDA=90°，∴∠ACD=∠PDA，∵∠ADC=∠PAD=90°，∴△ADC∽△PDA，∴，，∴PA=.（3）當點P在線段AC的垂直平分線上時，PA=PC.設PA=x，則PB=10-x.又在矩形ABCD中，∠B=90°，∴，∴.解得：x=，∴PC=PA=.∴sin∠CPB=