已知:點(diǎn)A、B分別是直線m、n上兩點(diǎn),在直線n上找一點(diǎn)C,使BC=AB,連接AC,在線段AC上取一點(diǎn)E,作∠BEF=∠ABC,EF交直線m于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)∠ABC=60°時(shí)(如圖1),求證:AE+AF=BC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí)(如圖2),則AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系是______
【答案】分析:(1)連接BF,在AB上截取AF=AG,連接FG,則△FAG是等邊三角形,得AF=FG,∠EAF=∠FGB=120°;由于∠FAB=∠BEF=∠ABC,所以E、A、F、B四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得求得∠AEF=∠GBF,即可證得△AEF≌△GBF,由此可得AE=BG,即可證得所求的結(jié)論.
(2)思路和輔助線作法同(1),只不過全等換成了相似,相似比由1:1變?yōu)榱?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154520640/SYS201310212307511545206028_DA/0.png">:1,因此結(jié)論應(yīng)該是BC=AE+AF.
(3)輔助線作法同(1),參照(1)(2)的求解過程,可推出BC=AF+AE,進(jìn)而可根據(jù)BC、AF的長(zhǎng)得到AE的值;在Rt△AFE中,易求得FG=AE=,那么可證得△AEM≌△GFM,即可得到AM=MG,且ME=FM,因此只需求得FM即可.由(1)(2)的解答過程可知A、F、B、E四點(diǎn)共圓,在這個(gè)圓中,利用相交弦定理即可求得ME的值.
解答:解:(1)在AB上截取AG=AF,則△AFG是等邊三角形,連接FG、FB(如圖1);
∵∠BAF=∠BEF=60°,
∴A、F、B、E四點(diǎn)共圓,
∴∠AEF=∠ABF(即∠GBF);
又∵AF=GF,∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°,
在△EAF與△BGF中,
,
∴△EAF≌△BGF,
∴AE=BG,故AF+AE=AB=BC.

(2)在AB上截取AG=AF,連接FG,則△AFG是等腰直角三角形,連接FB(如圖2);
同(1)可證得△EAF∽△BGF,
得:BG:AE=FG:AF=,即BG=AE;
∴BC=AB=AG+BG=AF+AE.

(3)在AB上截取AG=AF,連接FG,則△AFG是等腰三角形,且∠AFG=∠AGF=30°,連接FB(如圖3);
同(1)(2)可證得:BC=AF+AE,即AE=;
在等腰△AFG中,AF=AG=1,∠FAG=120°,易求得FG=
∵∠EAM=∠FGA=30°,∠AME=∠FMG,AE=FG=,
∴△AME≌△GMF,得AM=MG=,ME=MF;
同(1)(2)可知:A、F、B、E四點(diǎn)共圓,由相交弦定理得:
ME•MF=AM•BM,即ME2=AM•BM=×(4-)=,解得ME=

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、確定圓的條件以及相交弦定理等知識(shí),綜合性強(qiáng)難度較大.
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(1)當(dāng)∠ABC=60°時(shí)(如圖1),求證:AE+AF=BC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí)(如圖2),則AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系是
 
;
(3)當(dāng)∠ABC=120°時(shí)(如圖3),設(shè)EF與AB交于點(diǎn)M,若AC=4
3
,AF=1,求EM的長(zhǎng).
精英家教網(wǎng)

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12
BC.

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(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí)(如圖2),則AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系是______;
(3)當(dāng)∠ABC=120°時(shí)(如圖3),設(shè)EF與AB交于點(diǎn)M,若AC=4數(shù)學(xué)公式,AF=1,求EM的長(zhǎng).

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