Question

如圖，⊙O的半徑長為12cm，弦AB=12

3

cm．OC⊥AB．
（1）求弦心距OC的長及弓形AB的面積；（結(jié)果保留π）
（2）如果弦AB的兩端點(diǎn)在圓周上滑動(dòng)（AB弦長始終保持不變），那么弦AB的中點(diǎn)形成什么樣的圖形？

Answer 1

分析：（1）連OB，由OC⊥AB，得到AC=BC=6

3

，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OC=

122-(6 3 )2

=6，這樣可得到∠AOB=120°，而S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△AOB，然后利用扇形和三角形的面積公式計(jì)算即可．
（2）由于AB弦長始終保持不變，可得到弦心距OC的長也不變，根據(jù)圓的定義即可得到弦AB的中點(diǎn)形成的圖形．

解答：解：（1）連OB，如圖，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
而弦AB=12

3

cm，
∴AC=6

3

，
又∵⊙O的半徑長為12cm，
∴OC=

122-(6 3 )2

=6，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△AOB=

120π×122

360

-

1

2

×6×12

3

=（48π-36

3

）cm²．
所以弦心距OC的長6cm，弓形AB的面積（48π-36

3

）cm²；

（2）∵AB弦長始終保持不變，
∴弦心距OC的長也不變，
即弦AB的中點(diǎn)C到圓心O的距離總為6，
所以弦AB的中點(diǎn)形成的圖形是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓，如圖．

點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式：S=

nπR2

360

，其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑），或S=

1

2

lR，l為扇形的弧長，R為半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理以及圓的定義．