Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC于點(diǎn)N，連接DM．下列結(jié)論：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN，∴①正確；
在△AFB和△△CNA中

∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，∴②正確；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四點(diǎn)共圓，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正確；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正確；
即正確的有4個(gè)，
故選D．

求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷①，證△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判斷②；根據(jù)A、B、D、M四點(diǎn)共圓求出∠ADM=22.5°，即可判斷④，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判斷③．