【題目】已知正方形,P為射線上的一點,以為邊作正方形,使點F在線段的延長線上,連接.

1)如圖1,若點P在線段的延長線上,判斷的形狀,并說明理由;

2)如圖2,若點P在線段

①若點P是線段的中點,判斷的形狀,并說明理由;

②當時,請直接寫出的度數(shù).

【答案】1)等腰三角形,見解析;(2)①直角三角形,見解析;②

【解析】

1)由正方形的性質可得AB=BC,BF=BP,∠ABC=90°=EFB=EPB,通過證明AFB≌△CPB,可得AF=CP,∠AFB=CPB,由“SAS”可證AFE≌△CFE,可得AE=CE,即ACE是等腰三角形;
2)設AP=PB=PE=EF=BF=a,則AB=2a=BC,CF=3a,由勾股定理的逆定理可證ACE是直角三角形;
3)由正方形的性質可得BE=PB=AB,即可求∠EAB=67.5°,即可求∠CAE的度數(shù).

解:(1ACE等腰三角形
理由如下:
如圖,連接AF,CP,

∵四邊形ABCD,四邊形FBPE是正方形
AB=BC,BF=BP,∠ABC=90°=EFB=EPB,
∴∠ABF=CBP=90°,且AB=BCBF=BP
∴△AFB≌△CPBSAS
AF=CP,∠AFB=CPB,
∴∠AFB+EFB=CPB+EPB
∴∠AFE=CPE,且AF=CP,EF=EP
∴△AFE≌△CFESAS
AE=CE,
∴△ACE是等腰三角形
2ACE是直角三角形
理由如下:
∵點P是線段AB的中點,
AP=PB=AB
AP=PB=PE=EF=BF=a,則AB=2a=BC,CF=3a
AC2=AD2+CD2=8a2,CE2=CF2+EF2=10a2,AE2=AP2+PE2=2a2
CE2=AC2+AE2,
∴△ACE是直角三角形
3)如圖,連接BE

∵四邊形ABCD,四邊形FBPE是正方形,
∴∠CAB=EBP=45°,BE=PB,
AB=PB,
AB=BE,
∴∠EAB=AEB=67.5°,
∴∠CAE=EAB+CAB=112.5°.

練習冊系列答案
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