Question

【題目】如圖，已知M是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，D是MC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足∠ACM=∠BDM．

(1)求證：AC=BD；

(2)若∠BMC=60°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2

【解析】

（1）證明：延長(zhǎng)CM至F，使MF=CM，連接AF、BF,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠BFM=∠ACM,等量代換得到∠BFM=∠BDM,即可證明BD=BF=AC;

(2) 延長(zhǎng)CM至點(diǎn)E，使EM=CD，連結(jié)AE,證明△ACE≌△BDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BM=AM，又∠BMC=60° ，證明△AEM是等邊三角形，得到AB=2AM=2ME=2CD，即可求解.

（1）證明：延長(zhǎng)CM至F，使MF=CM，連接AF、BF

∵四邊形AFBC中對(duì)角線CF、AB互相平分

∴四邊形AFBC是平行四邊形

∴∠BFM=∠ACM,

∵∠ACM=∠BDM．

∴∠BFM=∠BDM,

∴BD=BF=AC

（2）解：延長(zhǎng)CM至點(diǎn)E，使EM=CD，連結(jié)AE

∴在△ACE和△BDM中

∴△ACE≌△BDM

∴AE=BM=AM

又∠BMC=60°

∴∠AME=60°

∴△AEM是等邊三角形

∴AB=2AM=2ME=2CD

∴.