Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，AC＝7，AD＝3，將四邊形ABCD沿直線(xiàn)l無(wú)滑動(dòng)翻滾一周，則對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】5π

【解析】

連接OC、OA，作DE⊥AC于E，證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BDC＝∠BAC＝45°，∠DBC＝∠DAC＝45°，證出BC＝DC，得出BD＝CD，證明△ADE是等腰直角三角形，得出AE＝DE＝AD＝3，求出CE＝AC﹣AE＝4，由勾股定理得出CD＝＝5，則BD＝5，將四邊形ABCD沿直線(xiàn)l無(wú)滑動(dòng)翻滾一周，則對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑為半徑為OC或OA的圓的周長(zhǎng)，即可得出答案．

連接OC、OA，作DE⊥AC于E，如圖所示：

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，O為BD的中點(diǎn)，

∴OA＝OC＝BD＝OB＝OD，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∠DBC＝∠DAC＝45°，

∴BC＝DC，

∴BD＝CD，

∵DE⊥AC，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝DE＝AD＝3，

∴CE＝AC﹣AE＝4，

∴CD=

∴BD＝5，

將四邊形ABCD沿直線(xiàn)l無(wú)滑動(dòng)翻滾一周，則對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑為半徑為OC或OA的圓的周長(zhǎng)，

∴將四邊形ABCD沿直線(xiàn)l無(wú)滑動(dòng)翻滾一周，則對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度＝5π；

故答案為：5π．