Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD，EC．

（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）當(dāng)點D在什么位置時，四邊形ADCE是矩形，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABDE為平行四邊形，
∴AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，
∴∠AED=∠CDE，
又∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，AC=DE，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=∠CDE，
在△ADC和△ECD中，
∵，
∴△ADC≌△ECD；

（2）解：當(dāng)點D在BC中點時，四邊形ADCE是矩形；理由如下：
∵D為BC中點，
∴BD=CD，
又∵四邊形ABDE為平行四邊形，
∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又∵AB=AC，
∴AC=DE，
∴平行四邊形ADCE為矩形.

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，再由平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CDE，又由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠ACD，根據(jù)等量代換得出AC=DE，∠ACD=∠AED=∠CDE，再由全等三角形的判定SAS得證.
（2）當(dāng)點D在BC中點時，四邊形ADCE是矩形；理由如下：由D為BC中點得出BD=CD；由平行四邊形的性質(zhì)得出AE∥BD，AE=BD，AB=DE；由等量代換得出AE∥CD，AE=CD，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ADCE為平行四邊形，再由對角線相等的平行四邊形為矩形.
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．