【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+與x軸交于點A,與y軸交于點B,點F是點B關(guān)于x軸的對稱點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A和點F,與直線AB交于點C.
(1)求b和c的值;
(2)點P是直線AC下方的拋物線上的一動點,連結(jié)PA,PB.求△PAB的最大面積及點P到直線AC的最大距離;
(3)點Q是拋物線上一點,點D在坐標(biāo)軸上,在(2)的條件下,是否存在以A,P,D,Q為頂點且AP為邊的平行四邊形,若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)b=,c=﹣;(2),;(3)點Q的坐標(biāo)為:(﹣1﹣,)或(,﹣)或(﹣1+,)或(,)或(﹣,﹣).
【解析】
(1)直線與軸交于點,與軸交于點,則點、的坐標(biāo)分別為:、,則點,拋物線經(jīng)過點和點,則,將點的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得:;
(2)過點作軸的平行線交于點,設(shè)出點P,H的坐標(biāo),將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和,可得函數(shù)表達式,可求△PAB的面積最大值,此時設(shè)點P到AB的距離為d,當(dāng)△PAB的面積最大值時d最大,利用面積公式求出d.
(3)若存在以,,,為頂點且為邊的平行四邊形時,平移AP,得出所有可能的情形,利用平行四邊形的對稱性得到坐標(biāo)的關(guān)系,即可求解.
解:(1)直線與軸交于點,與軸交于點,
令x=0,則y=,令y=0,則x=-3,
則點、的坐標(biāo)分別為:、,
∵點F是點B關(guān)于x軸的對稱點,
∴點,
∵拋物線經(jīng)過點和點,則,
將點代入拋物線表達式得:,
解得:,
故拋物線的表達式為:,
,;
(2)過點作軸的平行線交于點,
設(shè)點,則點,
則的面積:
當(dāng)時,
,
且,
∴的最大值為,此時點,,
設(shè):到直線的最大距離為,
,解得:;
(3)存在,理由:
點,點,,設(shè)點,,
①當(dāng)點在軸上時,
若存在以,,,為頂點且為邊的平行四邊形時,如圖,
三種情形都可以構(gòu)成平行四邊形,
由于平行四邊形的對稱性可得圖中點Q到x軸的距離和點P到x軸的距離相等,
∴,
即,
解得:(舍去)或或;
②當(dāng)點在軸上時,如圖:
當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時,由平行四邊形的性質(zhì)可得:
=3,
∴
∴m=,代入二次函數(shù)表達式得:y=
當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時,由平行四邊形的性質(zhì)可得:
=,
∴,
∴,代入二次函數(shù)表達式得:y=
故點,或,;
故點的坐標(biāo)為:,或,或,或,或,.
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【題目】如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD / /BC ,AD CD ,M 為腰 AB 上一動點,聯(lián)結(jié) MC 、MD , AD 10, BC 15 , cot B ,求:
(1)線段CD 的長.
(2)設(shè)線段 BM 的長為 x ,△CDM的面積為 y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.
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【題目】為響應(yīng)“學(xué)雷鋒、樹新風(fēng)、做文明中學(xué)生”的號召,某校開展了志愿者服務(wù)活動,活動項目有“防疫宜宣傳”、“文明交通崗”、“關(guān)愛老人”、“義務(wù)植樹”、“社區(qū)服務(wù)”五項,活動期間,隨機抽取了部分學(xué)生對志思者服務(wù)情況進行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn),被調(diào)查的每名學(xué)生都參與了活動,最少的參與了1項,最多的參與了5項,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次隨機抽取的學(xué)生共有______名;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校有3000名學(xué)生,請估計參與了4項活動的學(xué)生人數(shù);
(4)在所調(diào)查的學(xué)生中隨機選取一人談活動心得,求選中參與了5項活動的學(xué)生的概率.
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【題目】某工廠為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山“的發(fā)展理念,投資組建了日廢水處理量為m噸的廢水處理車間,對該廠工業(yè)廢水進行無害化處理. 但隨著工廠生產(chǎn)規(guī)模的擴大,該車間經(jīng)常無法完成當(dāng)天工業(yè)廢水的處理任務(wù),需要將超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業(yè)處理. 已知該車間處理廢水,每天需固定成本30元,并且每處理一噸廢水還需其他費用8元;將廢水交給第三方企業(yè)處理,每噸需支付12元.根據(jù)記錄,5月21日,該廠產(chǎn)生工業(yè)廢水35噸,共花費廢水處理費370元.
(1)求該車間的日廢水處理量m;
(2)為實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展,走綠色發(fā)展之路,工廠合理控制了生產(chǎn)規(guī)模,使得每天廢水處理的平均費用不超過10元/噸,試計算該廠一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍.
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【題目】如圖,在中,,點為邊的中點,請按下列要求作圖,并解決問題:
(1)作點關(guān)于的對稱點;
(2)在(1)的條件下,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),
①面出旋轉(zhuǎn)后的(其中、、三點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別是點、、);
②若,則________.(用含的式子表示)
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【題目】甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報名到農(nóng)村中學(xué)支教.
(1)若從甲、乙兩校報名的教師中分別隨機選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是 .
(2)若從報名的4名教師中隨機選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名教師來自同一所學(xué)校的概率.
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【題目】如圖,在圓O中,直徑AB平分弦CD于點E,且CD=4,連接AC,OD,若∠A與∠DOB互余,則EB的長是( )
A.2B.4C.D.2
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【題目】如圖,若干個全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為( 。
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
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【題目】如圖所示,△ABC為等邊三角形,點A的坐標(biāo)為(0,4),點B在x軸上,點C在反比例函數(shù)的圖象上,則點B的坐標(biāo)為__________.
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