【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求直線BC的解析式.
(2)點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①求四邊形PBAC面積的最大值,并求四邊形PBAC面積的最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
②如果在x軸上存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)x2﹣x﹣4,;(2)①16;②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0)或(6,0)
【解析】
(1)先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可解答;
(2)①過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N,連接PC,PB.設(shè)P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4).再用x表示出PN的長(zhǎng)度,然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出PN的最大值,進(jìn)而求得的最大值,最后再加上即可解答;②以BC為平行四邊形的一邊和以BC為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況討論,利用平移和中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可.
解:(1)由點(diǎn)A、B、C在拋物線yx2﹣x﹣4的函數(shù)圖像上
令y=0,則x=4或﹣2,即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(4,0);
令x=0時(shí),y=-4,即C點(diǎn)坐標(biāo)(0,-4).
由待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為:y=x-4.
(2)
①如圖,過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N,連接PC,PB.
設(shè)P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4).
∴PN=x-4-(x2﹣x﹣4)=-x2+2x=-(x-2)2-2
∴當(dāng)x=2時(shí),PN有最大值為2.此時(shí)P坐標(biāo)為(2,-4).
∴=PN·OB=×2×4=4
∴四邊形PBAC面積最大值==12+4=16
② 第一種情況:當(dāng)BC是平行四邊形的一條邊時(shí),
如圖所示,點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B,
設(shè):點(diǎn)P(n,n2﹣n﹣4),點(diǎn)Q(m,0),
則點(diǎn)P向右平移4個(gè)單位、向上平移4
即:n+4=m,n2﹣n﹣4+4=0,
解得:m=4或6(舍去4),
即點(diǎn)Q(6,0);
第二種情況:當(dāng)BC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
設(shè)點(diǎn)P(m,n)、點(diǎn)Q(s,0),其中nm2﹣m﹣4,
由中點(diǎn)公式可得:m+s=﹣2,n+0=4,
解得:s=2或4(舍去4),
故點(diǎn)Q(2,0);
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0)或(6,0);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1.有下列結(jié)論:①b2=4ac ②abc>0 ③a>c ④4a+c>2b.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師準(zhǔn)備了四張背面都一樣的卡片A、B、C、D,每張卡片的正面標(biāo)有字母a、b、c表示三條線段(如下圖).把四張卡片背面朝上放在桌面上,李老師從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片后不放回,再隨機(jī)抽取一張.
⑴ 李老師隨機(jī)抽取一張卡片,抽到卡片B的概率等于 ;
⑵ 求李老師抽取的兩張卡片中每張卡片上的三條線段都能組成三角形的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),P為對(duì)角線AC上一點(diǎn),且PB+PE=,則正方形ABCD邊長(zhǎng)的最大值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,先有一張矩形紙片點(diǎn)分別在矩形的邊上,將矩形紙片沿直線MN折疊,使點(diǎn)落在矩形的邊上,記為點(diǎn),點(diǎn)落在處,連接,交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:
②四邊形是菱形;
③重合時(shí),;
④的面積的取值范圍是
其中正確的是_____(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)歷疫情復(fù)學(xué)后,學(xué)校開展了多種形式的防疫知識(shí)講座,并舉行了全員參加的“防疫”知識(shí)競(jìng)賽,試卷題目共10題,每題10分.現(xiàn)分別從七年級(jí)1,2,3班中各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)(單位:分).
收集整理數(shù)據(jù)如下:
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
1班 | 83 | 80 | |
2班 | 83 | ||
3班 | 80 | 80 |
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)請(qǐng)直接寫出表格中,,,的值;
(2)比較這三組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),你認(rèn)為哪個(gè)班的成績(jī)比較好?請(qǐng)說明理由(一條理由即可);
(3)為了讓學(xué)生重視安全知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)校將給競(jìng)賽成績(jī)滿分的同學(xué)頒發(fā)獎(jiǎng)狀,該校七年級(jí)學(xué)生共120人,試估計(jì)需要準(zhǔn)備多少?gòu)埅?jiǎng)狀?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN.若∠MON=45°,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春,受疫情影響,同學(xué)們進(jìn)行了3個(gè)多月的網(wǎng)課迎來(lái)了復(fù)學(xué),為了解九年級(jí)學(xué)生網(wǎng)課期間學(xué)習(xí)情況,學(xué)校在復(fù)學(xué)后進(jìn)行了復(fù)學(xué)測(cè)試,小虎同學(xué)在九年級(jí)隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生的復(fù)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)闃颖,分?/span>A(100~90分)、B(89~80分)、C(79~60分)、D(59~0分)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答以下問題:
其中C組的期末數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
61 | 63 | 65 | 66 | 66 | 67 | 69 | 70 | 72 | 73 |
75 | 75 | 76 | 77 | 77 | 77 | 78 | 78 | 79 | 79 |
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A組所占的圓心角的度數(shù)為______,C組的復(fù)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是______,眾數(shù)是_______;
(3)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)共有學(xué)生400人,若分?jǐn)?shù)為80分(含80分)以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)這次九年級(jí)學(xué)生復(fù)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),BD是對(duì)角線.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB是直角,則四邊形BEDF是什么四邊形?證明你的結(jié)論.
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