Question

【題目】已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求證：△ABD≌△CBE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD與△CBE中，

∵ ，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：

同（1）可證△ABD≌△CBE，

∴CE=AD，

∵點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心，

∴DA=DB=DC，

又∵BD=BE，

∴BD=BE=CE=CD，

∴四邊形BDCE是菱形

【解析】（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．
【考點(diǎn)精析】利用菱形的判定方法和三角形的外接圓與外心對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形；過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．