【題目】如圖,在中,是邊上的一點,是的中點,過點作的平行線交的延長線于點,且,連接.
(1)求證:是的中點;
(2)如果,試判斷四邊形的形狀,并證明你的結論.
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形ADBF是矩形,證明見解析.
【解析】
(1)先由AF∥BC,利用平行線的性質可證∠AFE=∠DCE,而E是AD中點,那么AE=DE,∠AEF=∠DEC,利用AAS可證△AEF≌△DEC,那么有AF=DC,又AF=BD,從而有BD=CD;
(2)四邊形AFBD是矩形.由于AF∥DB,AF=DB,易得四邊形AFBD是平行四邊形,又AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三線合一定理,可知AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可證四邊形AFBD是矩形.
證明:(1)∵E是AD中點,
∴AE=DE
∵AF‖BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠EAF=∠EDC
在△AFE和△DCE中,
∴△AFE≌△DCE,
∴AF=DC
又∵AF=DB,
∴DC=BD,
∴點D是BC的中點
(2)四邊形ADBF是矩形
∵AF∥DB,AF=DB,
∴四邊形ADBF是平行四邊形.
又∵AB=AC,
D為BC中點,
∴AD⊥BC,
∴四邊形ADBF是矩形.
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【題目】如右圖,正方形ABCD的邊長為2,點E是BC邊上一點,以AB為直徑在正方形內作半圓
O,將△DCE沿DE翻折,點C剛好落在半圓O的點F處,則CE的長為( )
A. B. C. D.
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【題目】問題背景:如圖 1,在和中,,連接 交的延長線于點.則的值是____________.
問題解決:如圖 2,在問題背景的條件下,將繞點在平面內旋轉,點始終在的外部,所在直線交于點,若,當點與點重合時,的長是____________
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【題目】如圖,AM是△ABC的中線,D是線段AM上一點(不與點A重合).DE∥AB交AC于點F,CE∥AM,連結AE.
(1)如圖1,當點D與M重合時,求證:四邊形ABDE是平行四邊形;
(2)如圖2,當點D不與M重合時,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.
(3)如圖3,延長BD交AC于點H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度數(shù);
②當FH=,DM=4時,求DH的長.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,且AB=4,點C是弧AB上的一動點(不與A,B重合),過點B作⊙O的切線交AC的延長線于點D,點E是BD的中點,連接EC.
(1)若BD=8,求線段AC的長度;
(2)求證:EC是⊙O的切線;
(3)當∠D=30°時,求圖中陰影部分面積.
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【題目】某次臺風來襲時,一棵大樹樹干AB(假定樹干AB垂直于地面)被刮傾斜15°后折斷倒在地上,樹的項部恰好接觸到地面D(如圖所示),量得樹干的傾斜角為∠BAC=15°,大樹被折斷部分和地面所成的角∠ADC=60°,AD=4米,求這棵大樹AB原來的高度是( )米?(結果精確到個位,參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.4)
A.9B.10C.11D.12
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【題目】如圖①,在矩形OABC中,OA=4,OC=3,分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸,建立如圖所示的坐標系,連接OB,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點D,并與矩形的兩邊交于點E和點F,直線l:y=kx+b經(jīng)過點E和點F.
(1)寫出中點D的坐標 ,并求出反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接OE、OF,求△OEF的面積;
(3)如圖②,將線段OB繞點O順時針旋轉一定角度,使得點B的對應點H恰好落在x軸的正半軸上,連接BH,作OM⊥BH,點N為線段OM上的一個動點,求HN+ON的最小值.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值>反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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【題目】如圖,直線:與軸、軸交于、兩點,與反比例函數(shù)的圖像交于點,且.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)點是直線上一點,過點作軸的平行線交反比例函數(shù)和的圖像于,兩點,連,,當時,求的值.
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