【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線G:y=mx2+2mx+m﹣1(m≠0)與y軸交于點C,拋物線G的頂點為D,直線:y=mx+m﹣1(m≠0).
(1)當m=1時,畫出直線和拋物線G,并直接寫出直線被拋物線G截得的線段長.
(2)隨著m取值的變化,判斷點C,D是否都在直線上并說明理由.
(3)若直線被拋物線G截得的線段長不小于2,結合函數(shù)的圖象,直接寫出m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)無論m取何值,點C,D都在直線上,見解析;(3)m的取值范圍是m≤﹣或m≥.
【解析】
(1)當m=1時,拋物線G的函數(shù)表達式為y=x2+2x,直線的函數(shù)表達式為y=x,求出直線被拋物線G截得的線段,再畫出兩個函數(shù)的圖象即可;
(2)先求出C、D兩點的坐標,再代入直線的解析式進行檢驗即可;
(3)先聯(lián)立直線與拋物線的解析式,求出它們的交點坐標,再根據(jù)這兩個交點之間的距離不小于2列出不等式,求解即可.
(1)當m=1時,拋物線G的函數(shù)表達式為y=x2+2x,直線的函數(shù)表達式為y=x,
直線被拋物線G截得的線段長為,
畫出的兩個函數(shù)的圖象如圖所示:
(2)無論m取何值,點C,D都在直線上.理由如下:
∵拋物線G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)與y軸交于點C,
∴點C的坐標為C(0,m-1),
∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,
∴拋物線G的頂點D的坐標為(-1,-1),
對于直線:y=mx+m-1(m≠0),
當x=0時,y=m-1,
當x=-1時,y=m×(-1)+m-1=-1,
∴無論m取何值,點C,D都在直線上;
(3)解方程組,
得 ,或,
∴直線與拋物線G的交點為(0,m-1),(-1,-1).
∵直線被拋物線G截得的線段長不小于2,
∴≥2,
∴1+m2≥4,m2≥3,
∴m≤-或m≥
,
∴m的取值范圍是m≤-或m≥.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應市政府關于“垃圾不落地市區(qū)更美麗”的主題宣傳活動,鄭州外國語中學隨機調查了部分學生對垃圾分類知識的掌握情況,調查選項分為“A:非常了解;B:比較了解;C:了解較少;D:不了解”四種,并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題;
求______,并補全條形統(tǒng)計圖;
若我校學生人數(shù)為1000名,根據(jù)調查結果,估計該校“非常了解”與“比較了解”的學生共有______名;
已知“非常了解”的是3名男生和1名女生,從中隨機抽取2名向全校做垃圾分類的知識交流,請畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為積極響應“弘揚傳統(tǒng)文化”的號召,某學校倡導全校1200名學生進行經(jīng)典詩詞誦背活動,并在活動之后舉辦經(jīng)典詩詞大賽,為了解本次系列活動的持續(xù)效果,學校團委在活動啟動之初,隨機抽取部分學生調查“一周詩詞誦背數(shù)量”,根調查結果繪制成的統(tǒng)計圖(部分)如圖所示.
大賽結束后一個月,再次抽查這部分學生“一周詩詞誦背數(shù)量”,繪制成統(tǒng)計表
一周詩詞誦背數(shù)量 | 3首 | 4首 | 5首 | 6首 | 7首 | 8首 |
人數(shù) | 10 | 10 | 15 | 40 | 25 | 20 |
請根據(jù)調查的信息
(1)活動啟動之初學生“一周詩詞誦背數(shù)量”的中位數(shù)為 ;
(2)估計大賽后一個月該校學生一周詩詞誦背6首(含6首)以上的人數(shù);
(3)選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量,從兩個不同的角度分析兩次調查的相關數(shù)據(jù),評價該校經(jīng)典詩詞誦背系列活動的效果.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,E是CD邊上的點,過點E作EF⊥BD于F.
(1)尺規(guī)作圖:在圖中求作點E,使得EF=EC;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,連接FC,求∠BCF的度數(shù).
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【題目】數(shù)學課上,王老師讓同學們對給定的正方形,建立合適的平面直角坐標系,并表示出各頂點的坐標.下面是4名同學表示各頂點坐標的結果:
甲同學:,,,;
乙同學:,,,;
丙同學:,,,;
丁同學:,,,;
上述四名同學表示的結果中,四個點的坐標都表示正確的同學是__________.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊上的中線,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:BD=AF;
(2)判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.
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【題目】為豐富學生的課余生活,某校記劃開展三種拓展課活動,分別是“文學賞析”,“趣味數(shù)學”,“科學實驗”等項目,要求每位學生自主選擇其中一項拓展課參加.隨機抽取該校各年段部分學生,對選擇拓展課的意向進行調査,將調查的結果制作成以下統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)計表.
某校被調查學生選擇拓展課意向統(tǒng)計表
選擇意向 | 所占百分比 |
文學賞析 |
|
趣味數(shù)學 | 35% |
科學實驗 |
|
其它 | 30% |
(1)該校有2000名學生,請你估計大約有多少名學生參加科學實驗拓展課,并補全統(tǒng)計表.
(2)該校參加科學實驗拓展課的學生隨機分成A,B,C三個人數(shù)相同的班級.小慧和小明都參加科學實驗拓展課,求他們同班級的概率(畫樹狀圖或列表法求解)
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【題目】小明和小剛相約周末到雪蓮大劇院看演出,他們的家分別距離劇院1200m和2000m,兩人分別從家中同時出發(fā),已知小明和小剛的速度比是3:4,結果小明比小剛提前4min到達劇院.求兩人的速度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們知道,三角形的三條角平分線交于一點,這個點稱為三角形的內心(即三角形內切圓的圓心) . 現(xiàn)在規(guī)定,如果四邊形的四條角平分線交于一點,我們把這個點稱為“四邊形的內心”.
問題提出
(1)如圖1,在△ABC中,∠C=90°,點O為△ABC的內心,若直線DE分別交邊AC、BC于點D、E,且點O仍然為四邊形ABED的內心,這樣的直線DE可以畫多少條?請在圖1中畫出一條符合條件的直線DE,并簡要說明畫法.
問題探究
(2)如圖2,在△ABC中,∠C=90°, AC=3, BC=4,若滿足(1)中條件的一條直線DE // AB,求此時線段DE的長;
問題解決
(3)如圖3,在△ABC中,∠C=90°, AC=3,BC=4,問滿足(1)中條件的線段DE是否存在最小值?如果存在,請求出這個值;如果不存在,請說明理由.
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