Question

如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，D是弧AC上任一點，過C作CE∥DA交⊙O于點E，BE、DA的延長線相交于點F，連接BD交AC于點G．
求證：
（1）△BDF是正三角形；
（2）BC²=BG•BF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到內角為60度，再利用同號所對的圓周角相等及兩直線平行同位角相等得到三角形BFD中兩個角為60度，即可判定出三角形BDF為等邊三角形；
（2）由兩對角相等的兩三角形相似得到三角形ABG與三角形ABD相似，由相似得比例，等量代換即可得證．
解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC與∠BEC都對，∠ACB與∠D都對，
∴∠BAC=∠BEC=∠ACB=∠D=60°，
∵CE∥DA，
∴∠F=∠BEC=∠D=60°，
∴△BDF為等邊三角形；

（2）∵∠BAG=∠D=60°，∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴=，即AB²=BG•BD，
∵BC=AB，BF=BD，
∴BC²=BG•BF．
點評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．