Question

如圖1，拋物線y=mx²-11mx+24m （m＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB=______，OC=______；
（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當(dāng)四邊形OACD是菱形時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；
（3）如圖2，設(shè)垂直于x軸的直線l：x=n與（2）中所求的拋物線交于點(diǎn)M，與CD交于點(diǎn)N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點(diǎn)M始終位于拋物線上A、C兩點(diǎn)之間時(shí)，試探究：當(dāng)n為何值時(shí)，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，進(jìn)而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；
（3）首先求出過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線CD的解析式，進(jìn)而利用S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=mx²-11mx+24m （m＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：0=mx²-11mx+24m，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8 （4分）；

（2）連接AD，交OC于點(diǎn)E，
∵四邊形OACD是菱形，
∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4，
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴=，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，…（6分）
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2）…（7分）
把點(diǎn)A的坐標(biāo) （4，2）代入拋物線y=mx²-11mx+24m，得m=-，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x-12；       …（9分）

（3）連接AD，交OC于點(diǎn)E
∵直線x=n與拋物線交于點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （n，-n²+n-12），
由（2）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-2），
則C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為y=x-4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 （n，n-4），
∴MN=（-n²+n-12）-（n-4）=-n²+5n-8，…（11分）
∴S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=MN•CE=（-n²+5n-8）×4
=-（n-5）²+9         （13分）
∴當(dāng)n=5時(shí)，S_{四邊形AMCN}=9．       （14分）
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法以及菱形性質(zhì)和四邊形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ACE∽△BAE是解決問題的關(guān)鍵．