Question

已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-2a（x-m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）把拋物線方程轉(zhuǎn)化為一般式方程，然后由根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)拋物線解析式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；令y=0可以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．所以根據(jù)等腰直角三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：解：（1）證明：y=a（x-m）²-2a（x-m）=ax²-（2am+2a）x+am²+2am．
當(dāng)a≠0時(shí)，△=（2am+2a）²-4a（am²+2am）=4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0．
∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）y=a（x-m）²-2a（x-m）=a（x-m-1）²-a．
∴C（m+1，-a）．
當(dāng)y=0時(shí)，
解得x₁=m，x₂=m+2．
∴AB=（m+2）-m=2．
當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，可求出AB邊上高等于1．
∴|-a|=1．
∴a=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，等腰直角三角形以及二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．