Question

【題目】將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)(0°＜＜120°)得到線段AD，連接CD.

(1)連接BD，如圖1，若＝80°，則∠BDC的度數(shù)為 ；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2，以AB為斜邊作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，連接CE，DE.若∠CED＝90°，求的值.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）90°.

【解析】

（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AC=AD，再由圓周角定理即可得出結(jié)論；

（2）過點AM⊥CD于點M，連接EM，先根據(jù)AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE=AM，∠BAE=∠CAM，所以△AEM是等邊三角形．根據(jù)AC=AD，AM⊥CD可知CM=DM．故可得出點A、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．由圓周角定理可得出結(jié)論．

解：（1）∵線段AC，AD由AB旋轉(zhuǎn)而成，
∴AB=AC=AD．
∴點B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．
∴∠BDC=∠BAC=30°．
故答案為：30°；

（2）過點AM⊥CD于點M，連接EM．

則∠AMD=∠AMC=90°．
在△AEB與△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．
∴△AEM是等邊三角形．
∴EM=AM=AE．
∵AC=AD，AM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴AM=CM=DM．
∴點A、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．
∴=∠CAD=90°．