Question

【題目】拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC＝90°，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合，直線y＝kx+2（k＞0）與拋物線相交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在左邊），過點(diǎn)P作x軸平行線交拋物線于點(diǎn)H，當(dāng)k發(fā)生改變時(shí)，請(qǐng)說明直線QH過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）當(dāng)k發(fā)生改變時(shí)，直線QH過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）

【解析】

（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入拋物線表達(dá)式求得b，c，即可得出拋物線的解析式；

（2）作CH⊥EF于H，設(shè)N的坐標(biāo)為（1，n），證明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因?yàn)椹?/span>4≤n≤0，即可得出m的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），則點(diǎn)H（﹣x1，y1），設(shè)直線HQ表達(dá)式為y＝ax+t，用待定系數(shù)法和韋達(dá)定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直線QH過定點(diǎn)（0，﹣2）．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，

把點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，作CH⊥EF于H，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)E（1，﹣4），

設(shè)N的坐標(biāo)為（1，n），﹣4≤n≤0

∵∠MNC＝90°，

∴∠CNH+∠MNF＝90°，

又∵∠CNH+∠NCH＝90°，

∴∠NCH＝∠MNF，

又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，

∴Rt△NCH∽△MNF，

∴，即

解得：m＝n2+3n+1＝，

∴當(dāng)時(shí)，m最小值為；

當(dāng)n＝﹣4時(shí)，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．

∴m的取值范圍是．

（3）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵過點(diǎn)P作x軸平行線交拋物線于點(diǎn)H，

∴H（﹣x1，y1），

∵y＝kx+2，y＝x2，

消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，

x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，

設(shè)直線HQ表達(dá)式為y＝ax+t，

將點(diǎn)Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，

∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，

∴a＝x2﹣x1，

∵＝（ x2﹣x1）x2+t，

∴t＝﹣2，

∴直線HQ表達(dá)式為y＝（ x2﹣x1）x﹣2，

∴當(dāng)k發(fā)生改變時(shí)，直線QH過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）．