【題目】如圖,把△ABC沿DE折疊,當(dāng)點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時,∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請試著找一找這個規(guī)律,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是什么?試說明你找出的規(guī)律的正確性.
【答案】2∠A=∠1+∠2, 理由詳見解析.
【解析】
根據(jù)折疊得出∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,求出2∠ADE=180°-∠1,2∠AED=180°-∠2,推出∠ADE=90°-∠1,∠AED=90°-∠2,在△ADE中,∠A=180°-(∠AED+∠ADE),代入求出即可.
2∠A=∠1+∠2,
理由是:延長BD和CE交于A′,
∵把△ABC沿DE折疊,當(dāng)點A落在四邊形BCDE內(nèi)部,
∴∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,
∴2∠ADE=180°-∠1,2∠AED=180°-∠2,
∴∠ADE=90°-∠1,∠AED=90°-∠2,
∵在△ADE中,∠A=180°-(∠AED+∠ADE),
∴∠A=∠1+∠2,
即2∠A=∠1+∠2.
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,點D是直線BC上一點,以AD為一邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE.
(1)如圖①,點D在線段BC上移動時,直接寫出∠BAD和∠CAE的大小關(guān)系;
(2)如圖②,點D在線段BC的延長線上移動時,猜想∠DCE的大小是否發(fā)生變化.若不變請求出其大小;若變化,請說明理由.
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【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線的研究片斷,完成所提出的問題.
探究1:如圖(1)在△ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點,通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∠A,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)=90°-∠A.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A
探究2:如圖(2)中,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點,試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請說明理由.
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【題目】(10分)如圖,△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E.
(1)若BC=10,則△ADE周長是多少?為什么?
(2)若∠BAC=128°,則∠DAE的度數(shù)是多少?為什么?
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【題目】問題背景:
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是__________________;
探索延伸:
如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
結(jié)論應(yīng)用:
如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時的速度前進,1.5小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時兩艦艇之間的距離.
能力提高:
如圖4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=5,CN=12,則MN的長為_________.(直接寫出答案)
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【題目】在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA.
(1)作出符合本題的幾何圖形;
(2)求證:BE∥DF.
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【題目】如圖,AD=AE,∠ADC=∠AEB,BE與CD相交于點O.
(1)在不添加輔助線的情況下,由已知條件可以得出許多結(jié)論,例如:△ABE≌△ACD、∠DOB=∠EOC、∠DOE=∠BOC等.請你動動腦筋,再寫出3個結(jié)論
(所寫結(jié)論不能與題中舉例相同且只要寫出3個即可)
① ,② ,③ ,
(2)請你從自己寫出的結(jié)論中,選取一個說明其成立的理由.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線,點E、M在BC上,則∠EAN=_____.
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【題目】如圖所示,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,將△ABC繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到的△AB′C′,則∠BAC′等于( )
A.105°
B.120°
C.135°
D.150°
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