Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣5），點P是拋物線上的動點，連接PA、PC，PC與x軸交于點D．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）若點P的坐標為（﹣2，3），請求出此時△APC的面積；

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點H，交直線AC于點E，如圖2．

①若∠APE=∠CPE，求證：；

②△APE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）15；（3）①證明見解析；②P（﹣1，0），（﹣2，3），（，）．

【解析】

試題分析：（1）設交點式為y=a（x+5）（x+1），然后把C點坐標代入求出a即可；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，由P點坐標得到Q（﹣2，﹣3），則PQ=6，然后根據三角形面積公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ進行計算；

（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判斷△PAD為等腰三角形，則AH=DH，設P（x，），則OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通過證明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=，則，則解方程求出x可得到OH和AH的長，然后利用平行線分線段成比例定理計算出；

②設P（x，），則E（x，﹣x﹣5），分類討論：當PA=PE，易得點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；當AP=AE，如圖2，利用PH=HE得到，當E′A=E′P，如圖2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=，則，然后分別解方程求出x可得到對應P點坐標．

試題解析：（1）解：設拋物線解析式為y=a（x+5）（x+1），把C（0，﹣5）代入得a51=﹣5，解得a=﹣1，所以拋物線解析式為y=﹣（x+5）（x+1），即；

（2）解：設直線AC的解析式為y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得：，解得：，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，則Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ5=×6×5=15；

（3）①證明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD為等腰三角形，∴AH=DH，設P（x，），則OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，∴PH：OC=DH：OD，即（）：5=DH：（﹣x﹣DH），∴DH=，而AH+OH=5，∴，整理得：，解得，（舍去），∴OH=，∴AH==，∵HE∥OC，∴===；

②能．設P（x，），則E（x，﹣x﹣5），當PA=PE，因為∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，則點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；

當AP=AE，如圖2，則PH=HE，即，解，得（舍去），（舍去）；解，得（舍去），，此時P點坐標為（﹣2，3）；

當E′A=E′P，如圖2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′==，則，解得（舍去），，此時P點坐標為（，）．

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣1，0），（﹣2，3），（，）．