Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y1＝x2﹣4x+4的頂點(diǎn)為A，直線y2＝kx﹣2k（k≠0），

（1）試說明直線是否經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)A；

（2）若直線y2交拋物線于點(diǎn)B，且△OAB面積為1時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過x軸上的一點(diǎn)M（t，0）（0≤t≤2），作x軸的垂線，分別交y1，y2的圖象于點(diǎn)P，Q，判斷下列說法是否正確，并說明理由：

①當(dāng)k＞0時(shí)，存在實(shí)數(shù)t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

②當(dāng)﹣2＜k＜﹣0.5時(shí)，不存在滿足條件的t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

Answer 1

【答案】（1）直線經(jīng)過A點(diǎn)；（2）B（1,1）或B（3,1）；（3）①正確，②正確.

【解析】

（1）將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)A的坐標(biāo), 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的解析式判斷即可；

（2） △OAB面積為1時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即可求解.
（3）①點(diǎn)M（t，0），則點(diǎn)P（t，t2﹣4t+4），點(diǎn)Q（t，kt﹣2k），若k＞0：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在Q點(diǎn)上方時(shí)，整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0，求出△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解，則存在實(shí)數(shù)t（0≤t≤2）使得PQ=3.

②分當(dāng) P在Q點(diǎn)下方，當(dāng)P在Q點(diǎn)上方時(shí)，兩種情況進(jìn)行分類討論.

（1）

頂點(diǎn)A（2,0）

當(dāng)x=2時(shí)，由2k-2k=0，

∴直線經(jīng)過A點(diǎn).

（2）

△OAB面積為1時(shí)，

令

解得：

即點(diǎn)B的坐標(biāo)為：B（1,1）或B（3,1）,

（3）∵點(diǎn)M（t，0），

∴點(diǎn)P（t，t2﹣4t+4），點(diǎn)Q（t，kt﹣2k），

①若k＞0：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在Q點(diǎn)上方時(shí)，∵PQ=3

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解

∴①正確．

②若k＜0:

1）當(dāng) P在Q點(diǎn)下方，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣3

∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12

∴當(dāng)存在PQ=3時(shí)，k2﹣12≥0

∴k≤或k≥（舍去）

∴當(dāng)﹣2＜k＜﹣0.5時(shí)，不存在滿足條件的t，

2)當(dāng)P在Q點(diǎn)上方時(shí)，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

∵△=k2+12＞0,此方程有解

又∵ ∴有一正一負(fù)兩根

∴正根>2

∴在[0,2]上不存在滿足條件的t，

∴②正確-