【題目】綜合與探究:在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),與軸交于點(diǎn),它的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn),直線經(jīng)過,兩點(diǎn),連接.
(1)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)探索直線上是否存在點(diǎn),使為直角三角形,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn):
①使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
②使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,;(2)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或;(3)①拋物線上存在點(diǎn),使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;②拋物線上存在點(diǎn),使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【解析】
(1)先由拋物線的解析式以及圖像特征求得點(diǎn)、的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)先由點(diǎn)、 、 三點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系中距離公式推出為等邊三角形,再分兩種情況畫圖進(jìn)行分類討論,利用解直角三角形確定符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)①通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形,然后根據(jù)菱形的判定方法進(jìn)行證明即可;
②通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形,然后根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行證明即可.
解:(1)當(dāng)時(shí),
解得,
∵
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
設(shè)直線的表達(dá)式為,則
解得
∴直線的表達(dá)式為.
(2)結(jié)論:直線上存在點(diǎn),使為直角三角形.
證明:∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴
又∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∴
∴
∴為等邊三角形
∴
分兩種情況:
①當(dāng)時(shí),
∵
∴
作軸于點(diǎn),如圖:
∵在中,
∴,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
②作軸于點(diǎn),如圖:
當(dāng)時(shí)
∵
∴,
∴
∴
在中,
∴,
∵
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴綜上所述:直線上存在點(diǎn),使為直角三角形,點(diǎn)的坐標(biāo)為或;
(3)①過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn),連接,如圖:
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∴當(dāng)時(shí),
∴,(不合題意舍去)
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴
∵由(2)可知
∴
∴四邊形是菱形
∴當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí),拋物線上存在點(diǎn),使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;
②過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),連接、,如圖:
∵
∴
∵由(2)可知
∴
∵由(2)可知
∴
∴
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴,
∴
∴四邊形是矩形
∴拋物線上存在點(diǎn)即點(diǎn)處,使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+2ax-3與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,將拋物線沿y軸平移m(m>0)個(gè)單位,當(dāng)平移后的拋物線與線段OA有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),則m的取值范圍是_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=(x>0)與正比例函數(shù)y=x(x≥0)的圖象,點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)A'(4,b)與點(diǎn)B'均在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)B在直線y=x上,四邊形AA'B'B是平行四邊形,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的對(duì)稱軸為直線,且頂點(diǎn)在軸上,與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,直線與直線相交于點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)點(diǎn)是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn).試判斷是否為等腰三角形,并說明理由.
(3)作于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)從橫坐標(biāo)2013處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2019處時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)P(m,n)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)如圖1,過動(dòng)點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B,連接PA,請(qǐng)通過測(cè)量或計(jì)算,比較PA與PB的大小關(guān)系:PA_____PB(直接填寫“>”“<”或“=”,不需解題過程);
(2)請(qǐng)利用(1)的結(jié)論解決下列問題:
①如圖2,設(shè)C的坐標(biāo)為(2,5),連接PC,AP+PC是否存在最小值?如果存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,簡(jiǎn)單說明理由;
②如圖3,過動(dòng)點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線交拋物線于另一點(diǎn)D,若AP=2AD,求直線OP的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,請(qǐng)用直尺(不帶刻度),和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡).
(1)作菱形AMNP,使點(diǎn)M,N、P在邊AB、BC、CA上;
(2)當(dāng)∠A=60°,AB=8,AC=6時(shí),求菱形AMNP的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的中,,且為上一點(diǎn).今打算在上找一點(diǎn),在上找一點(diǎn),使得與全等,以下是甲、乙兩人的作法:
(甲)連接,作的中垂線分別交、于點(diǎn)、點(diǎn),則、兩點(diǎn)即為所求
(乙)過作與平行的直線交于點(diǎn),過作與平行的直線交于點(diǎn),則、兩點(diǎn)即為所求
對(duì)于甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確?( 。
A. 兩人皆正確B. 兩人皆錯(cuò)誤
C. 甲正確,乙錯(cuò)誤D. 甲錯(cuò)誤,乙正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(14分)如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上.
(1)請(qǐng)直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系: ;
(2)如圖2,將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<360°),
①(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)利用圖2證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
②當(dāng)AC=ED時(shí),探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在這樣的角α,使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出角α的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=4,點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PE⊥AB交射線AD于點(diǎn)E,沿PE將△APE折疊,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接EF,DF,CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為________.
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