Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB交射線AD于點(diǎn)E，沿PE將△APE折疊，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF，DF，CF，當(dāng)△CDF為等腰三角形時，AP的長為________．

Answer 1

【答案】2，或

【解析】

根據(jù)題意分DF=CD、CF=CD或FD=FC三種情況先得出相應(yīng)的圖形，由此進(jìn)一步結(jié)合相關(guān)信息加以分析即可.

如圖1，當(dāng)DF=CD時，點(diǎn)F在點(diǎn)處，作DN⊥AB于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，

∴CD=AD=4，

在Rt△AND中，

∵∠DAN=45°，AD=4，

∴DN=AN=，

又∵DA=D，且DN⊥AB，

∴N=AN=，

∴AP=；

如圖2，當(dāng)CF=CD=4時，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合或在點(diǎn)處，

①點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，則PE是AB的垂直平分線，

∴AP=；

②點(diǎn)F在點(diǎn)處時，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，

易得：∠DAB=∠=45°，CB==4，

∴CM==BM=，

∴=，

∴AP=，

此時點(diǎn)E不在線段AD上，舍去；

如圖3，當(dāng)FD=FC時，過點(diǎn)F作FQ⊥CD于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)G，

則：CQ=DQ=QG=2，FQ=，

∴BF=GF=，

∴AF=，

∴AP=；

綜上所述，AP的長度為：2，或，

故答案為：2，或.