Question

【題目】【課本引申】

我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

【嘗試探究】

（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC＋∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

【拓展運(yùn)用】

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，若∠1+∠2＝230°，則剪掉的∠C＝_________；

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出答案_ ．

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？(若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由)

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A （2）50°（3）∠P=90°－∠A （4）∠BAD+∠CDA=360°－2∠P．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（4）延長BA、CD相交于點(diǎn)Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結(jié)論整理即可得解；

試題解析：

（1）∠DBC+∠ECB=180°－∠ABC+180°－∠ACB

=360°－(∠ABC+∠ACB)

=360°－(180°－∠A)

=180°+∠A

（2）50°

（3）∠P=90°－∠A

（4）延長BA、CD交于點(diǎn)Q，

則∠P=90°－∠Q，∴∠Q=180°－2∠P．

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°－2∠P=360°－2∠P．