Question

如圖，AB是⊙O的弦，D是半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于F，且CE=CB。

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑。

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；（2）30 °（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線；

（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的長，進而求出⊙O的半徑．

試題解析：

（1）證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °

∴∠OBA+∠ABC=90 °

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線．

（2）連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60 °

∴∠ABF=∠AOF=30 °

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，

∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴CE==13

∴CG==12，

又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得

∴AD==

∴⊙O的半徑為2AD=．

考點：1.直線與圓的位置關(guān)系;2.等邊三角形;3.相似三角形的性質(zhì).