Question

    如圖，三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C在圓上，頂點(diǎn)A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點(diǎn)，連結(jié)EC、BD．

  (1)求證：ΔABD∽ΔACE；

  (2)若ΔBEC與ΔBDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀．

Answer 1

  (1)證明：因?yàn)?img width=2 height=2 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/2012/08/03/01/2012080301273585735320.files/image027.jpg'>弧ED所對(duì)的圓周角相等，所以∠EBD=∠ECD，…………………2分

  又因?yàn)椤螦=∠A，所以△ABD∽ΔACE．……………………………………………4分

  (2)法1：因?yàn)镾_△BEC=S_△BCD，

  S_△ACE=S_△ABC-S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC一S_△BCD，………………………………6分

  所以S_△ACE=S_△ABD，

  又由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以對(duì)應(yīng)邊之比等于1，……………………………………………………………8分

  所以AB=AC，即三角形ABC為等腰三角形．……………………………………9分

  法2：因?yàn)棣�BEC與ΔBCD的面積相等，有公共底邊BC，所以高相等，

  即E、D兩點(diǎn)到BC距離相等，所以ED‖BC，……………………………………6分

  所以∠BCE=∠CED，

  又因?yàn)椤螩ED=∠CBD，

  所以∠BCE=∠CBD，………………………………………………………………8分

  由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以∠ABD=∠ACE，

  所以∠ABC=∠ACB，

  即三角形ABC為等腰三角形．  ……………………………………………………9分