Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對稱軸是x=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，點(diǎn)P是直線m上任意一點(diǎn)，PB⊥x軸于點(diǎn)B，PC⊥y軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)E在線段OB上，點(diǎn)F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PE=3PF．求證：PE⊥PF；

（3）若（2）中的點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，2），點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)F是y軸上的點(diǎn)，當(dāng)PE⊥PF時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點(diǎn)A，對稱軸是x=列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；

（2）設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；

（3）設(shè)E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到，，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的式子表示），最后，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a的值即可．

（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點(diǎn)A，對稱軸是x=，得，

解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，

∴直線m的解析式為y=x．

∵點(diǎn)P是直線1上任意一點(diǎn)，

∴設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如圖所示，點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF為矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，

∴OF=3a﹣20．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF為矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q（2，﹣6）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．