Question

【題目】如圖，直徑為10的半圓O，tan∠DBC= ，∠BCD的平分線交⊙O于F，E為CF延長線上一點，且∠EBF=∠GBF．

（1）求證：BE為⊙O切線；
（2）求證：BG2=FGCE；
（3）求OG的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由同弧所對的圓周角相等得∠FBD=∠DCF，

又∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF，

已知∠EBF=∠GBF，

∴∠EBF=∠∠BCF，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠FCB=90°，

∴∠FBC+∠EBF=90°，

∴BE⊥BC，

∴BE為⊙O切線

（2）證明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，

∴△BEF∽△CEB，

∴BE2=EFCE，

又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，

∴∠BFE=∠BFG=90°，

在△BEF與△BGF中， ，

∴△BEF≌△BGF，

∴BE=BG，EF=FG，

∴BG2=FGCE

（3）解：如圖，過G作GH⊥BC于H，

∵CF平分∠BCD，

∴GH=GD，

∵tan∠DBC= ，

∴sin∠DBC= ，

∵BC=10，

∴BD=8，BG=BD﹣GD=8﹣GD，

∴ = ，

∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，

∵BC=10，∴OH=OB﹣BH=1，

在Rt△OGH中，由勾股定理得OG= ．

【解析】（1）首先依據(jù)圓周角定理得到∠FBD=∠DCF，結(jié)合角平分線的定義可證明∠EBF=∠∠BCF，故此可得到BE⊥BC；
（2）由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE2=EFCE，得到∠BFE=∠BFG=90°，故此可證明△BEF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BG，EF=FG，最后，通過等量代換可得到問題的答案；
（3）過G作GH⊥BC于H，首先依據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GH=GD，接下來，在依據(jù)三角函數(shù)的定義得到==從而可求得DG的長，最后，在依據(jù)勾股定理求解即可.
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．