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8.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示,點O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,點B的坐標(biāo)為(5,4).將矩形OABC沿某直線1對折,使點B落在坐標(biāo)軸上的點F處,且BF與1的交點Q恰好落在過點B的拋物線y=x2+mx+14上,則點F的坐標(biāo)為(1,0)或(3,0)或(0,32).

分析 本題要分兩種情況進行討論:
①當(dāng)F在x軸上時,過Q作x軸的垂線,那么不難得出Q點的縱坐標(biāo)為AB的一半即為2,然后將其代入拋物線的解析式中即可求出Q點的坐標(biāo),然后根據(jù)三角形的中位線定理即可求得AM,進而求得AF,即可求得F的坐標(biāo).
②當(dāng)F在y軸上時,過Q作x軸的垂線,那么不難得出Q點的橫坐標(biāo)為OA的一半即為2.5,然后將其代入拋物線的解析式中即可求出Q點的坐標(biāo),然后根據(jù)梯形的中位線定理即可求得OF,即可求得F的坐標(biāo).

解答 解:∵點B的拋物線y=x2+mx+14上,點B的坐標(biāo)為(5,4).
∴4=25+5m+14,
解得m=-7,
∴拋物線的解析式為y=x2-7x+14,
①當(dāng)點F在x軸上時,過Q作QM⊥x軸于M,
由題意可知QM=12AB=2,則Q點的縱坐標(biāo)為2,
代入y=x2-7x+14得,x2-7x+14=2,
∴x=3或x=4
∴Q點的坐標(biāo)為(3,2)或(4,2),
當(dāng)Q點坐標(biāo)為(3,2)時,如圖1,OM=3,MA=2,F(xiàn)A=4,
∴F(1,0);
當(dāng)Q點坐標(biāo)為(4,2)時,如圖1,OM=4,MA=1,F(xiàn)A=2,
∴F(3,0);
②當(dāng)點F在y軸上時,由題意可知OM=12OA=52,則Q點的橫坐標(biāo)為52,
代入y=x2-7x+14得,y=254-352+14=114,
∴Q點的坐標(biāo)為(52114),
∴QM=114,
∵QM=12(OF+AB),
∴OF=2QM-AB=2×114-4=32,
∴F(0,32);
綜上,點F的坐標(biāo)為(1,0)或(3,0)或(0,32);
故答案為(1,0)或(3,0)或(0,32).

點評 本題著重考查了矩形的性質(zhì)、圖形翻折變換、中位線定理以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識等重要知識點,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

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