Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OB=2OA，C為直線y=2x與直線AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．P的橫坐標(biāo)為x，△POD的面積為S，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若F為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，E為x軸上一點(diǎn)，是否存在以O、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為（，3）；（2）S =x-；（3）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）或（4，-2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意求出A、B的坐標(biāo)再求直線AB解析式，把直線AB與直線OC的方程聯(lián)立方程組，求得的解即為點(diǎn)C坐標(biāo)．

（2）由OD=及點(diǎn)D在直線y=2x上求得點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線AD解析式，得到點(diǎn)P縱坐標(biāo)的表示，用x表示△AOP的面積．利用S等于△AOD與△AOP面積差即求得S與x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）由于OD是固定的，所以以OD為平行四邊形的邊或?qū)�角線作為分類討論的依據(jù)．畫(huà)圖即得到點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，把縱坐標(biāo)代入直線AB解析式即求得F的橫坐標(biāo)．

解：（1）∵OA=3，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸和y軸的正半軸上

∴A（3，0），OB=3OA=6

∴B（0，6）

設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b

∴解得：

∴直線AB解析式為：y=-2x+6

∵解得：

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（，3）

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H

∵點(diǎn)D在線段OC上，直線OC解析式為y=2x

∴設(shè)點(diǎn)D（d，2d）（0＜d＜）

∴OD=

∴d=1

∴D（1，2），DG=2

設(shè)直線AD解析式為：y=ax+c

∴解得：

∴直線AD解析式為：y=-x+3

∵點(diǎn)P在線段AD上，且橫坐標(biāo)為x

∴OH=x，PH=yP=-x+3

∴S=S△AOD-S△AOP=OADG-OAPH=OA（DG-PH）=×3×（2+x-3）=x-

（3）存在以O、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

①當(dāng)OD為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，

∴|yF|=yD=2

∵|-2x+6|=2解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

②當(dāng)OD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3，

∴DF∥x軸，yF=yD=2

∴F（2，2）

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）或（4，-2）．