Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=8，以AB為直徑作⊙O，連接OC，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，D為切點(diǎn)，連接OD．
（1）求證：△OBC≌△ODC；
（2）若sin∠OCD=

3

5

，求直徑AB的長．

Answer 1

分析：（1）切線的定義得出OD⊥CD，及∠ABC=90°，HL證明△OBC≌△ODC；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得及勾股定理求出OB的長，從而得出直徑AB的長．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，AB為⊙O的直徑，
又∵CD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥CD．
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OBC≌△ODC．（4分）

（2）解：∵△OBC≌△ODC，
∴∠OCD=∠OCB．   （5分）
又∵sin∠OCD=

3

5

，
∴sin∠OCB=

3

5

．
即

OB

OC

=

3

5

（6分）
設(shè)OB=3k，OC=5k，
∵OB²+BC²=OC²
∴（3k）²+8²=（5k）²（7分）
∴k=2．   （9分）
∴直徑AB=2OB=2•3k=12．   （10分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的定義和性質(zhì)，三角形全等的判定及勾股定理．