Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：△PCF是等腰三角形；

（3）若∠BEC=30°，求證：以BC，BE，AC邊的三角形為直角三角形．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OC，可證得OC∥AD，結合條件可證得∠DAC=∠CAO，可證得結論；
（2）由條件可得∠BCP=∠CAB，∠ACF=∠BCF，結合外角性質可得∠CFP=∠PCF，可證得結論；
（3）連接AE，可知根據條件可得到BE與AB的關系，以及和的關系，再結合勾股定理的逆定理可得到結論．

試題解析：證明：(1)如圖1，連接OC，

∵DP是O的切線，

∴OC⊥DP，

又∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

(2)∵PD是O的切線，

∴∠BCP=∠CAB，

又∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，

即∠CFP=∠PCF，

∴PC=PF，即△PCB為等腰三角形；

(2)如圖2，連接AE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴AE=BE，

又∵AB為直徑，

∴

∵

∴

∴在Rt△ABC中,

∴

∴以BC，BE，AC邊的三角形為直角三角形．