Question

【題目】已知：如圖，在中，，以為直徑作分別交，于點(diǎn)，，連接和，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，求線段的長(zhǎng)；

（3）在的條件下，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

(1)根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°，由等腰三角形三線合一可得∠ABD＝∠CBD，又AD、DE是兩角對(duì)應(yīng)的弦，所以可證AD＝DE；(2)先證△CED∽△CAB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知邊長(zhǎng)求得CD；(3)在Rt△ABD中由勾股定理求得BD，根據(jù)角相等，可證△BPE∽△BED，利用相似性質(zhì)求得BP，進(jìn)一步求得DP，根據(jù)等高三角形面積比等于底邊的比，可得S△BCD：S△BPE＝DP：BP＝13:32，,S△BDE：S△BCD＝BE：BC＝4:5，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

(1)證明：∵是的直徑，

∴，

∵，

∴是的中點(diǎn)，，

∴；

（2）∵四邊形內(nèi)接于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，是的中點(diǎn)，

∴；

（3）延長(zhǎng)交于，

，

在中，，，

∴，

∵，是的直徑，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．