【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC邊的中點,MN⊥BC交AC于點N,動點P在線段BA上以每秒cm的速度由點B向點A運動.同時,動點Q在線段AC上由點N向點C運動,且始終保持MQ⊥MP.一個點到終點時兩個點同時停止運動,設運動的時間為t秒(t>0).
(1)求證:△PBM∽△QNM.
(2)若∠ABC=60°,AB=4cm,
①求動點Q的運動速度;
②設△APQ的面積為S(cm2),求S與t的等量關系式(不必寫出t的取值范圍).
【答案】(1)見解析;(2)①Q點的運動速度為1cm/s,②S=﹣t2+8.
【解析】
(1)由條件可以得出,,就可以得出;
(2)①根據直角三角形的性質和中垂線的性質BM、MN的值,再由就可以求出Q的運動速度;
②先由條件表示出AN、AP和AQ,再由三角形的面積公式就可以求出其解析式;
(1)∵MQ⊥MP,MN⊥BC,
∴∠PMN+∠PMB=90°,∠QMN+∠PMN=90°,
∴∠PMB=∠QMN.
∵∠B+∠C=90°,∠C+∠MNQ=90°,
∴∠B=∠MNQ,
∴△PBM∽△QNM.
(2)∵∠BAC=90°,∠ABC=60°,
∴BC=2AB=8cm.AC=12cm,
∵MN垂直平分BC,
∴BM=CM=4cm.
∵∠C=30°,
∴MN=CM=4cm.
①設Q點的運動速度為v(cm/s).
∵△PBM∽△QNM.
∴=,
∴=,
∴v=1,
答:Q點的運動速度為1cm/s.
②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm,
∴AP=4﹣t,AQ=4+t,
∴S=APAQ=(4﹣t)(4+t)=﹣t2+8.
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【題目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC,點D在直線AB上,連接CD,在CD的右側作CE⊥CD,CD=CE,
(1)如圖1,①點D在AB邊上,直接寫出線段BE和線段AD的關系;
(2)如圖2,點D在B右側,BD=1,BE=5,求CE的長.
(3)拓展延伸
如圖3,∠DCE=∠DBE=90,CD=CE,BC=,BE=1,請直接寫出線段EC的長.
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【題目】如圖,已知中,,厘米,厘米,點為的中點.如果點在線段上以每秒2厘米的速度由點向點運動,同時,點在線段上以每秒厘米的速度由點向點運動,設運動時間為(秒).
(1)用含的代數式表示的長度;
(2)若點、的運動速度相等,經過1秒后,與是否全等,請說明理由;
(3)若點、的運動速度不相等,當點的運動速度為多少時,能夠使與全等?
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【題目】如圖(1),Rt△ABC中,∠ACB=-90°,CD⊥AB,垂足為D.AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置,使點E’落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示.試猜想:BE'與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,點O為AB的中點,連接DO并延長到點E,使OE=OD,連接AE,BE.
(1)求證:四邊形AEBD是矩形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,矩形AEBD是正方形,并說明理由.
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【題目】《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體的不朽之作,它建立了一套從公理、定義出發(fā),論證命題得到定理的幾何學論證方法,形成了一個嚴密的邏輯體系﹣﹣﹣幾何學.以下是《幾何原本》第一卷中的命題6,請完成它的證明過程.
命題6:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.
已知: .
求證: .
證明:若AB≠AC,其中必有一個較大,不妨設AB>AC,在AB上截取BD=AC,
連接DC.
∵ ,
,
,
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC=∠CAB .
又∠BDC>∠CAB .
∴∠BDC與∠CAB即等于又大于,顯然是矛盾的.
∴假設不成立,即AB=AC.
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【題目】如圖,AB=BD,AC=CE,DC、BE交于點F,∠ABD=∠ACE=60°.
(1)求證:BE=CD;
(2)求∠A+∠ABF+∠ACF的值.
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【題目】如圖,有、、三個居民小區(qū)的位置成三角形,現決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市,使超市到三個小區(qū)的距離相等,則超市應建在( )
A.在∠A、∠B兩內角平分線的交點處
B.在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處
C.在AC、BC兩邊高線的交點處
D.在AC、BC兩邊中線的交點處
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