Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（m>0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，頂點(diǎn)為C，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，直線CA交y軸于E，且．

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）將△BCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)O恰好落在y軸上，

①求直線CE的解析式；

②求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1） A（,0） B（,0）；(2) ①，②．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為x=2，利用得出CA:CE=3:4，由△AOE∽△AGC可得，進(jìn)而求得OA、OB的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用C點(diǎn)坐標(biāo)和△AOE∽△AGC可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，，分別利用待定系數(shù)法即可求得直線CE和拋物線的解析式．

解：（1）∵拋物線的解析式為，

∴對(duì)稱軸為直線，

如圖，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于G，則軸，，

∴△AOE∽△AGC，

∴，

∵，

∴CA:CE=3:4 ，則，

∴，

∴，，

則，，

∴A(,0)， B(,0)；

（2）如圖，設(shè)O旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)Q處，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)P，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△BCO≌△ACQ，

∴BO=AQ=，CO=CQ，

∴OQ=，

∵軸，

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則

由（1）得△AOE∽△AGC，，

∴，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

①設(shè)CE的解析式為，分別代入C，E得：

，解得：，

∴CE的解析式為；

②將A(,0)，C分別代入得：

，解得：，

∴拋物線解析式為 ．