Question

【題目】已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，回答下列問(wèn)題：

（1）化簡(jiǎn)：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；

（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x滿(mǎn)足什么條件時(shí)，y有最小值，求最小值

Answer 1

【答案】（1）a﹣2b﹣3c；（2）當(dāng)x=a時(shí)y有最小值是b﹣c．

【解析】

（1）從數(shù)軸上的標(biāo)示可知c＜0＜a＜b，由此去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)即可；

（2）分區(qū)間進(jìn)行去絕對(duì)值化簡(jiǎn)比較即可．

解：（1）根據(jù)數(shù)軸上的標(biāo)示知，c＜0＜a＜b，

∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，

∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b

＝a﹣2b﹣3c；

（2）①當(dāng)x≤c時(shí)，

y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，

因?yàn)樵摵瘮?shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝c時(shí)最小，最小值為：a+b﹣2c，

②當(dāng)c≤x≤a時(shí)，

y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+b﹣c，

因?yàn)樵摵瘮?shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)最小，最小值為：b﹣c，

③當(dāng)a≤x≤b時(shí)，

y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，

因?yàn)樵摵瘮?shù)為增函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)最小，最小值為：b﹣c，

④當(dāng)x≥b時(shí)，

y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，

因?yàn)樵摵瘮?shù)為增函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝b時(shí)最小，最小值為：2b﹣a﹣c，

從以上討論中可知，當(dāng)x=a時(shí)y的值是b﹣c，小于其他最小值，

所以當(dāng)=a時(shí)y有最小值是b﹣c．

故答案為：（1）a﹣2b﹣3c；（2）當(dāng)x=a時(shí)y有最小值是b﹣c．