Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A(1，4)，B(4，n)兩點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)，kx+b＜的解集．

(3)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo)，使PA+PB最小．

Answer 1

【答案】（1）y＝，y=﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）

【解析】

（1）把A（1，4）代入y=即可求出反比例函數(shù)的解析式，再把B（4，n）代入y=得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象以及A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得出；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P，則AB′的長(zhǎng)度就是PA+PB的最小值，求出直線AB′與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；

（2）根據(jù)圖象得當(dāng)0＜x＜1或x＞4，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象在反比例函數(shù)y＝的下方；

∴當(dāng)x＞0時(shí)，kx+b＜的解集為0＜x＜1或x＞4；

（3）如圖，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

設(shè)直線AB′的解析式為y＝px+q，

∴，

解得，

∴直線AB′的解析式為y＝﹣x+，

令y＝0，得﹣x+＝0，

解得x＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．