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【題目】探索:在圖1至圖2中,已知的面積為a

(1)如圖1,延長的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA;延長邊CA到點E,使CA=AE,連接DE;若的面積為,則= (用含a的代數式表示);

(2)在圖1的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,FE,得到(如圖2).若陰影部分的面積為,則= (用a含的代數式表示);

(3)發(fā)現:像上面那樣,將各邊均順次延長一倍,連接所得端點,得到(如圖2),此時,我們稱向外擴展了一次.可以發(fā)現,擴展n次后得到的三角形的面積是面積的 倍(用含n的代數式表示);

(4)應用:某市準備在市民廣場一塊足夠大的空地上栽種牡丹花卉,工程人員進行了如下的圖案設計:首先在的空地上種紫色牡丹,然后將向外擴展二次(如圖3).在第一次擴展區(qū)域內種黃色牡丹,第二次擴展區(qū)域內種紫色牡丹,紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米,黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米.要使得種植費用不超過48700元,工程人員在設計時,三角形的面積至多為多少平方米?

【答案】1 ;(2;(3 ;(4的面積至多為10平方米.

【解析】

(1)連接AD,根據等底等高的三角形的面積相等求出△ADE的面積即可;

(2)根據等底等高的三角形的面積相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面積,相加即可;

(3)(2)得到△ABC向外擴展了一次得到的△DEF的面積SDEF=7a,△ABC向外擴展了二次得到的△MGH的面積SMGH=72a,找出規(guī)律即可;

(4)(2)(3)的結論確定出種黃色牡丹,種紫色牡丹的面積,用總費用建立不等式,即可.

(1)如圖1,連接AD,

BC=CD,

SABC=SDAC=a,

AE=AC

SDAE=SDAC=SABC=a,

S1=SCDE=SDAE+SDAC=2a,

故答案為:2a

(2)如圖2,

(1)有,SCDE=2a

(1)的方法得到,

SEAF=2a,

SBDF=2a,

S2=SCDE+SEAF+SBDF=6a,

故答案為:6a;

(3)(2)S2=6a

SDEF=S2+SABC=6a+a=7a,

∴△ABC向外擴展了一次得到的△DEF的面積SDEF=7a

∴△ABC向外擴展了二次得到的△MGH,可以看作是△DEF向外擴展了一次得到,

SMGH=7SDEF=7×7a=72a

∴△ABC向外擴展了二次得到的△MGH的面積SMGH=72a,

同理:△ABC向外擴展了n次得到的三角形的面積S=7na

故答案為:7n;

(4)(2)有,△ABC第一次擴展區(qū)域面積為S2=6a

同理:△ABC第二次擴展區(qū)域可以看成是△DEF向外擴展了一次得到,

S3=6SDEF=6×7a=42a

∵在△ABC的空地上種紫色牡丹,第二次擴展區(qū)域內種紫色牡丹,

∴種紫色牡丹的面積為a+42a=43a,

∵在第一次擴展區(qū)域內種黃色牡丹,

∴種黃色牡丹的面積為6a,

∵紫色牡丹花的種植成本為100/平方米,黃色牡丹花的種植成本為95/平方米.要使得種植費用不超過48700元,

100×43a+95×6a48700

a10,

∴工程人員在設計時,三角形ABC的面積至多為10平方米.

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