【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A 的坐標是(4,0),并且0A=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.
(1) 求拋物線的解析式;
(2)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線,垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標;
(3) 是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形? 若存在,求出所有符合條件的點P的坐標; 若不存在,說明理由
【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P(,2)或(,2);(3)存在,P的坐標是(2,6)或(-2,-6),理由見解析
【解析】試題分析:
(1)由已知條件易得點ABC三點的坐標,設拋物線的解析式為,將三點坐標代入所設解析式列出方程組,解方程組即可;
(2)如圖1,連接OD,易證四邊形OFDE是矩形,由此可得EF=OD,所以當OD最短時,EF最短,即當OD⊥AC時,EF最短,結(jié)合OA=OC可知此時點D是AC中點,從而可得點D的縱坐標,結(jié)合DF∥OC可得點P的縱坐標,代入拋物線解析式即可求得點P的橫坐標,從而可得點P的坐標;
(3)如圖2,根據(jù)題意分別過點A、C作AC的垂線與拋物線相交于點P,再分別過所得點P向y軸作垂線交y軸于一點,結(jié)合已知條件即可求出對應的點P的坐標了.
試題解析:
(1)∵點A的坐標為:(4,0),
∴OA=4,
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),B(-1,0)
設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,
則,解得:,
∴拋物線的解析式是:y=-x2+3x+4;
(2)如圖1,連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,
則OD=EF.根據(jù)垂線段最短,可得當OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.
∵OA=OC,點OD⊥AC,
∴D是AC的中點.
又∵DF∥OC,
∴DF=OC=2,
∴點P的縱坐標是2.則-x2+3x+4=2,解得:x=,
∴當EF最短時,點P的坐標是:(,2)或(,2).
(3)存在,如圖2,
第一種情況,當以C為直角頂點時,過點C作CP1⊥AC,交拋物線于點P1.過點P1作y軸的垂線,垂足是M.
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1,
設P(m,-m2+3m+4),則m=-m2+3m+4-4,解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴-m2+3m+4=6,
即P(2,6);
第二種情況,當點A為直角頂點時,過A作AP2,AC交拋物線于點P2,過點P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點F.
∴P2N∥x軸,由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
設P2(n,-n2+3n+4),則n=(-n2+3n+4)+4,解得:n1=-2,n2=4(舍去),
∴-n2+3n+4=-6,則P2的坐標是(-2,-6).
綜上所述,P的坐標是(2,6)或(-2,-6);
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民樓,已知點A到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點D,且∠BDN=30°,假設汽車在高速道路上行駛時,周圍39米以內(nèi)會受到噪音(XRS)的影響.
(1)過點A作MN的垂線,垂足為點H,如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當汽車到達點P處時,噪音開始影響這一排的居民樓,那么此時汽車與點H的距離為多少米?
(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板,當汽車行駛到點Q時,它與這一排居民樓的距離QC為39米,那么對于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長?(精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.7)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,放置的, , ,…都是邊長為2的等邊三角形,邊在軸上,點, , ,…都在直線上,則的坐標是( )
A. (2017,2017) B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,中,AB=AC,D、E分別在邊AB、AC上,且滿足AD=AE.下列結(jié)論中:①;②AO平分∠BAC;③OB=OC;④AO⊥BC;⑤若,則;其中正確的有( )
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知∠ABC= ,D是直線AB上的一點,AD=BC,連結(jié)DC.以DC為邊,在∠CDB的同側(cè)作∠CDE,使得∠CDE=∠ABC,并截取DE=CD,連結(jié)AE.
(1)求證:;并判斷AE和BC的位置關系,說明理由;
(2)若將題目中的條件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0<x<180)”,
①結(jié)論“”還成立嗎?請說明理由;②試探索:當的值為多少時,直線AE⊥BC.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探索:在圖1至圖2中,已知的面積為a
(1)如圖1,延長的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA;延長邊CA到點E,使CA=AE,連接DE;若的面積為,則= (用含a的代數(shù)式表示);
(2)在圖1的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,FE,得到(如圖2).若陰影部分的面積為,則= (用a含的代數(shù)式表示);
(3)發(fā)現(xiàn):像上面那樣,將各邊均順次延長一倍,連接所得端點,得到(如圖2),此時,我們稱向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn),擴展n次后得到的三角形的面積是面積的 倍(用含n的代數(shù)式表示);
(4)應用:某市準備在市民廣場一塊足夠大的空地上栽種牡丹花卉,工程人員進行了如下的圖案設計:首先在的空地上種紫色牡丹,然后將向外擴展二次(如圖3).在第一次擴展區(qū)域內(nèi)種黃色牡丹,第二次擴展區(qū)域內(nèi)種紫色牡丹,紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米,黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米.要使得種植費用不超過48700元,工程人員在設計時,三角形的面積至多為多少平方米?
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【題目】廣安某大型蔬菜超市從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)蔬菜進行零售,部分蔬菜批發(fā)價格與零售價格如表:
蔬菜品種 | 西紅柿 | 青椒 | 西蘭花 | 豆角 |
批發(fā)價(元/) | 3.6 | 5.4 | 8 | 4.8 |
零售價(元/) | 5.4 | 8.4 | 14 | 7.6 |
請解答下列問題:
(1)第一天,該蔬菜超市批發(fā)青椒和豆角兩種蔬菜共,用去了元錢,問該蔬菜超市批發(fā)青椒和豆角兩種蔬菜各多少千克?
(2)在(1)的條件,這兩種蔬菜當天全部售完一共能盈利多少?
(3)第二天,蔬菜超市用元錢批發(fā)青椒和西蘭花,要想當天全部售完后所盈利不少于元,則該經(jīng)營戶最多能批發(fā)青椒多少?(結(jié)果取整數(shù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明同學騎自行車去郊外春游,騎行1小時后,自行車出現(xiàn)故障,維修好后繼續(xù)騎行,下圖表示他離家的距離y(千米)與所用的時間x(時)之間關系的圖象.
(1)根據(jù)圖象回答:小明到達離家最遠的地方用了多長時間?此時離家多遠?
(2)求小明出發(fā)2.5小時后離家多遠;
(3)求小明出發(fā)多長時間離家12千米.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一塊木板如圖所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面積為( 。
A. 60 B. 30 C. 24 D. 12
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