Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)E，且BE平分∠ABC，
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD=2，AE=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE．欲證AC是⊙O的切線，只需證明AC⊥OE即可；
（2）由切割線定理，得：AE²=AD•AB，根據(jù)切割線定理即可求出BD的長，由此得解．
解答：（1）證明：連接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即AC⊥OE．
又∵OE是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AE是圓O的切線，AB是圓的割線，
根據(jù)切割線定理：AE²=AD×AB，
∵AD=2，AE=，
∴12=2AB，
∴AB=6，則AD+BD=6，
∴BD=4，
∴⊙O的半徑=BD=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理（經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）和切割線定理的運(yùn)用，具有一定的綜合性．