Question

如圖1，點(diǎn)A在第一象限，AB⊥x軸于B點(diǎn)，連結(jié)OA，將Rt△AOB折疊，使A點(diǎn)與x軸上的動(dòng)點(diǎn)A′重合，折痕交AB邊于D點(diǎn)，交斜邊OA于E點(diǎn)，
（1）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，6），當(dāng)EA'∥AB時(shí)，點(diǎn)A'的坐標(biāo)是______；
（2）若A'與原點(diǎn)O重合，OA=8，雙曲線的圖象恰好經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)（如圖2），則k=______．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，6），
∴OB=8，AB=6，
∴OA==10，
∵EA′∥AB，
∴EA′⊥x軸，
∴sin∠AOB==，
由折疊的性質(zhì)可得：A′E=AE，
∴AE：OE=3：5，
∴A′E=AE=10×=，OE=×10=，
∴OA′==5，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是：（5，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2a，2b），
∵A′與原點(diǎn)O重合，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（a，b），
∵雙曲線的圖象恰好經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)，
∴k=ab，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2a，b），
∴AB=2b，BD=b，OB=2a，
由折疊的性質(zhì)可得：OD=AD=AB-BD=b，
在Rt△OBD中，OD²=OB²+BD²，
即（b）²=（2a）²+（b）²①，
在Rt△OAB中，OA²=OB²+AB²，
即8²=（2a）²+（2b）²②，
聯(lián)立①②得：a=，b=，
∴k=ab=．
故答案為：（1）（5，0）；（2）．
分析：（1）由AB⊥x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，6），可求得OA的長(zhǎng)，又由EA′∥AB，由三角函數(shù)與折疊的性質(zhì)，可得AE：OE=3：5，則可求得AE與OE的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得OA′的長(zhǎng)，即可求得答案；
（2）首先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2a，2b），由A′與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（a，b），又由雙曲線的圖象恰好經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)，可得k=ab，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2a，b），即可得在Rt△OBD中，OD²=OB²+BD²，即（b）²=（2a）²+（b）²①，在Rt△OAB中，OA²=OB²+AB²，即8²=（2a）²+（2b）²②，聯(lián)立求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．